RMS是什么
RMS即真有效值,是對交流信號幅度的基本量度,可以分別從實(shí)用角度和數(shù)學(xué)角度予以定義。
從實(shí)用角度定義是:一個(gè)交流信號的真有效值等于在同一電阻性負(fù)載上產(chǎn)生同等熱量所需的直流量。例如,1V真有效值交流信號與1V直流信號在同一電阻上產(chǎn)生的熱量相同。
從數(shù)學(xué)角度定義是:真有效值定義如下:
真有效值等同于零平均值統(tǒng)計(jì)信號的標(biāo)準(zhǔn)偏差。這包括求信號的平方,取平均值,然后獲得其平方根。取平均的時(shí)間和信號的特性相關(guān),對于周期信號,則使用完整周期進(jìn)行平均即可,但是對于非周期信號,取平均值的時(shí)間必須足夠長,以便能在所需的近似最低工作頻率進(jìn)行濾波。
按照RMS的定義,一個(gè)交流信號的RMS值等于在同一電阻性負(fù)載上產(chǎn)生同等熱量所需的直流量。所以真有效值是從熱量角度定義的,根據(jù)熱量的定義,有以下公式:
所以根據(jù)RMS定義,有以下公式:
消去R值,可以得到
兩個(gè)等式的模型一樣,等效為一個(gè)等式:
交流信號的幅度值是時(shí)刻變化的,但是我們將時(shí)間t細(xì)分為Δt,由于Δt很小,可以認(rèn)為在Δt時(shí)間內(nèi)交流信號的幅度值不變化,值為e(i),并且熱量是可以累積的,所以有:
所以有:
推導(dǎo)得到真有效值的數(shù)學(xué)定義,等效于對被測信號的實(shí)時(shí)采樣值進(jìn)行平方和后求平均,然后開方。求平均是一個(gè)將變化信號趨于穩(wěn)定的運(yùn)算,對于周期信號,因?yàn)槠渲芷谧兓?,所以只要對其完整周期進(jìn)行評價(jià),其結(jié)果就是一個(gè)穩(wěn)定值,所以平均的時(shí)間t可以取周期信號的n個(gè)完整周期T。對于非周期信號,由于其變化沒有規(guī)律,所以只能在保證測量結(jié)果輸出的前提條件下,盡可能長時(shí)間的進(jìn)行平均。
對于周期信號,當(dāng)Δt無窮小時(shí),我們可以得到RMS值得積分表達(dá)形式:
理論上,熱轉(zhuǎn)換是最簡單、最直接的方法,但實(shí)際上,它卻是最難以實(shí)現(xiàn)、成本最高的方法。這種方法涉及到將未知交流信號的熱值與已知的校準(zhǔn)直流基準(zhǔn)電壓的熱值進(jìn)行比較,測量框圖如圖1所示?;鶞?zhǔn)電阻R2和信號電阻R1的等效參數(shù)模型必須是近似完全一致,并且近似純電阻性。S1和S2是兩個(gè)性能完全一樣的熱電轉(zhuǎn)換器件,將R1和R2產(chǎn)生的熱量轉(zhuǎn)換為電形式,熱隔離帶用來阻斷R1和R2之間的熱傳遞,所以最終A2會調(diào)整一個(gè)直流輸出值,使基準(zhǔn)電阻R2與信號電阻R1之間的溫差為零,此時(shí)這兩個(gè)匹配電阻的功耗完全相同。因此,根據(jù)真有效值的基本定義,直流基準(zhǔn)電壓值將等于未知信號電壓的真有效值。
模型非常簡單,也非常好理解,但是每個(gè)熱單元都必須含有一個(gè)穩(wěn)定的、低溫度系數(shù)電阻R1和R2,電阻與線性溫度電壓轉(zhuǎn)換器S1和S2發(fā)生熱接觸,并且要保證熱傳遞性能一致。
圖1所示的電路框圖對器件和系統(tǒng)有著嚴(yán)格的要求,但是通常也具有較小的誤差和寬帶寬的優(yōu)點(diǎn)。但是,熱轉(zhuǎn)換單元R1和 S1、R2和S2具有一定,且固定的時(shí)間常數(shù),所以對于過低頻率的信號,需要較長時(shí)間才能穩(wěn)定,并且溫度波動會較大,所以了這種真有效值計(jì)算方案的低頻性能不好。
顯式計(jì)算就是按照真有效值的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行每一步運(yùn)算。真有效值除了熱量角度的定義外,還有一個(gè)數(shù)學(xué)定義,包括求信號的平方、取平均值、獲得其平方根,顯而易見,顯示計(jì)算是利用乘法器和運(yùn)算放大器直接進(jìn)行平方、平均值和平方根計(jì)算。平方可以使用乘法器完成,平均可以使用低通濾波器完成,開方可以使用運(yùn)放和乘法器完成。
顯式計(jì)算法框圖如圖2所示,因?yàn)槭沁B續(xù)的模擬測量,所以選擇性能優(yōu)秀的乘法器和運(yùn)放可以實(shí)現(xiàn)相對不錯的精度和帶寬。但是因?yàn)榻?jīng)過平方器后的信號振幅范圍會變得更大,為保證后級電路能夠進(jìn)一步處理,必須限制信號的動態(tài)范圍,因此顯式計(jì)算方法的動態(tài)范圍有限。例如,如果輸入信號的動態(tài)變化范圍為20dB(1V至10V的輸入),那么平方器輸出信號的動態(tài)范圍將達(dá)到40dB(平方器輸出=1V至100V)。因此這類方法如果是單級運(yùn)算則輸入動態(tài)范圍最大約為10:1,則最大可以實(shí)現(xiàn)20dB的動態(tài)范圍。
圖2 顯式計(jì)算框圖
模擬測量可以連續(xù)進(jìn)行測量,給出測量結(jié)果,但是一般帶寬和精度相對較低,因?yàn)槠涫褂昧说屯V波器進(jìn)行平均運(yùn)算,如果實(shí)現(xiàn)測量結(jié)果穩(wěn)定,則必須使用極低的截止頻率,而截止頻率低這會導(dǎo)致測量速度非常慢。
一種更高精度、更高帶寬、更快速度的測試方法就是使用數(shù)字方法進(jìn)行測量。數(shù)字測量使用前面推導(dǎo)的數(shù)字定義的公式,將模擬信號離散化,離散過程就是ADC對模擬信號采樣的過程,如圖4所示示意了一個(gè)3位分辨率的ADC對正弦信號離散化的過程。當(dāng)采樣率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于被測信號的頻率時(shí),即ADC的兩個(gè)采樣結(jié)果之間的時(shí)間間隔Δt非常短,這時(shí)我們可以近似認(rèn)為在Δt時(shí)間內(nèi)被測信號的值沒有變化,就是ADC的采樣值。然后我們利用真有效值的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行運(yùn)算即可得出真有效值。對于周期信號,我們可以使用一個(gè)或者多種周期進(jìn)行運(yùn)算,對于沒有明顯周期的信號,我們可以規(guī)定一定時(shí)間計(jì)算一次真有效值。
PA6000功率分析儀使用的就是這種數(shù)字方法實(shí)現(xiàn)真有效值的測量,測量周期由同步源決定,具體如何決定將在同步源知識點(diǎn)講解。PA6000使用了數(shù)字方法測量,所以可以達(dá)到很高的帶寬和精度,帶寬高達(dá)1MHz,精度高達(dá)0.02%,這種精度和帶寬是模擬測量無法實(shí)現(xiàn)的,同時(shí)最大支持10ms給出一個(gè)測量結(jié)果的速度也是模擬測量技術(shù)無法企及的一個(gè)速度。
常規(guī)的測量儀器無法準(zhǔn)確測量出真有效值的原因是他們一般僅僅針對工頻設(shè)計(jì),帶寬不夠無法滿足實(shí)際的測試需求,因?yàn)閷?shí)際情況下電壓和電流都可能含有豐富的諧波成分,而這些常規(guī)儀器的帶寬往往不夠,所以無法準(zhǔn)確測量到高次諧波的能量,但是高次諧波卻一樣會導(dǎo)致電路元件發(fā)熱,并且會導(dǎo)致容性元件急劇發(fā)熱,實(shí)際中絕大多數(shù)電路元器件的極限容量值是由保證元器件不過熱而可以散發(fā)的熱量所決定的。
例如電纜的容量是由特定的安裝條件和最大的工作溫度所決定的。如果測量不準(zhǔn)確會導(dǎo)致電纜的實(shí)際運(yùn)行電流值被低估,因而導(dǎo)致電纜的工作溫度比預(yù)期的溫度要高,結(jié)果是電纜的絕緣下降、過早損壞甚至引發(fā)火災(zāi)。
其他的一些電力元器件,如熔斷器和斷路器的熱元件,它們的額定電流值是根據(jù)有效值來制定的,因?yàn)樗鼈兊奶匦院蜕峋o密相關(guān)。這就是誤跳閘的根本原因所在。真實(shí)電流大于所預(yù)期電流,導(dǎo)致斷路器一直工作在過電流狀態(tài),長期工作可能會引起跳閘。任何由誤跳閘引起的斷電所造成的事故損失都可能是巨大的。